примеры ряда тейлора

Суть разложения функции в степенной ряд хорошо видна из разложения обобщенной функции/(д:), представленного на рис. 5.1 (выходные ячейки имеют стандартный формат). Рис. 5.1. Разложение в ряд обобщенной функции f(x) В первом примере разложение идет относительно исходной точки х0=0, что соответствует упрощенному ряду Тейлора, часто называемому рядом Маклорена. Во втором случае разложение идет относительно исходной точки х0, отличной от нуля. Обычно такое разложение сложнее и дает большую остаточную погрешность. В соответствии с принятой математической символикой эта погрешность обозначается как О [x] i с показателем степени, указывающим на порядок погрешности. Следует отметить, что разложение в ряд использует особый формат вывода, частью которого и является член остаточной погрешности. На рис. 5.2 показано разложение в ряд Тейлора для нескольких функций, причем вывод дан в стандартной форме. Рис. 5.2. Примеры представления функций рядами Нетрудно заметить, что не все функции разлагаются в ряд Тейлора системой . Mathematica. Например, не имеют разложения логарифм и квадратный корень они возвращаются в исходном виде. А разложение факториала представлено через гамма- и полигамма-функции. Удаление члена с остаточной погрешностью ряда Из-за особого формата результаты разложения в ряд нельзя явно использовать для расчетов (например, для построения графика функции по данным ее разложения в ряд). Для устранения остаточного члена и получения приемлемых для расчетов выражений можно использовать функции Collect и Normal. Ниже показаны примеры применения этих функций:

SeriesData [х, х0, {а0, al,...}, nmin, nmax, den] представляет степенной ряд от переменной х в окрестности точки х0. Величины ai являются коэффициентами степенного ряда. Показатели степеней (х-х0) представлены величинами nmin/den, (nmin+1) /den, ..., nmax/den.

SeriesCoef ficient [s,n] возвращает коэффициент при переменной n-й степени ряда s;

Series [f, {х, х0, nх}, {у, у0, nу}] последовательно ищет разложения в ряд сначала по переменной у, затем по х;

Series[f, {х, х0, п}] выполняет разложение в степенной ряд функции f в окрестности точки х=х0 по степеням (х-х0) ^ n;

  Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена Одна из широко распространенных математических задач представления данных разложение заданной аналитической функции в степенной ряд Тейлора относительно некоторой узловой точки с абсциссой хО. Такой ряд нередко проще самой функции (в том смысле, что не требует вычисления даже элементарных функций и вычисляется с помощью только арифметических операций) и дает единообразное представление для разлагаемых функций в виде обычных степенных многочленов. Большинство достаточно гладких функций, не имеющих разрывов в области р"аз-ложения, довольно точно воспроизводятся рядом Тейлора. Как правило, такие разложения достаточно просты в окрестностях узловой точки разложения. Для разложения в ряд используются следующие функции системы Mathematical

2. Разложение функций в ряды

2. Разложение функций в ряды